Question

已知2^x≤16且log2x≥

1

2

，
（1）求x的取值范圍；
（2）求函數f(x)=log2(

x

2

)•log

2

(

x

2

)的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）分別利用指數、對數函數的單調性即可求得x的范圍，再取交集即可；
（2）根據對數運算性質對f（x）進行化簡，然后轉化為關于log₂x的二次函數，利用二次函數的性質可得函數的最值，注意x的范圍；

解答：解：（1）因為2^x≤16=2⁴，所以x≤4；
又log2x≥

1

2

=log22

1

2

，所以x≥

2

，
故所求x的取值范圍是

2

≤x≤4； 
（2）f(x)=log2(

x

2

)•log

2

(

x

2

)=(log2x-1)•(log

2

x

-log

2

2)
=（log₂x-1）•（log₂x-2）=(log2x)2-3log2x+2
=(log2x-

3

2

)2-

1

4

，
由已知

1

2

≤log2x≤2，
所以，當log2x=

3

2

，即x=2

2

時，f（x）取得最小值-

1

4

；
當log2x=

1

2

，即x=

2

時，f（x）取得最大值

3

4

．

點評：本題考查對數的運算性質、函數的最值，考查學生的運算求解能力．