Question

如圖，四棱錐S-ABCD的底面是矩形，SA⊥底面ABCD，P為BC邊的中點，SB與平面ABCD所成的角為45°，且AD=2，SA=1．
（Ⅰ）求證：PD⊥平面SAP；
（Ⅱ）求點A到平面SPD的距離；
（Ⅲ）求二面角A-SD-P的大小．

Answer 1

分析：方法一：
（1）證明直線與平面垂直，關(guān)鍵要找到兩條相交直線與之都垂直．在題目告知線段長度的前提下，可以考慮用勾股定理去尋找垂直
（2）由第（1）問的結(jié)論易得平面SPD⊥平面SAP，SP為交線，所以只要過A點作SP的垂線就可以了
（3）二面角的度量關(guān)鍵在于作出它的平面角，第（3）問中構(gòu)造二面角的平面角的方法是典型的三垂線法．
方法二：
在題目條件中有直線與平面垂直的情況下，也可以建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)定參量求解．比如此題中，我們可以以A為坐標(biāo)原點，分別以BA、DA、SA為x、y、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz．這種解法的好處就是：（1）解題過程中較少用到空間幾何中判定線線、面面、線面相對位置的有關(guān)定理，因為這些可以用向量方法來解決．（2）即使立體感稍差一些的學(xué)生也可以順利解出，因為只需畫個草圖以建立坐標(biāo)系和觀察有關(guān)點的位置即可．

解答：（Ⅰ）證明：因為SA⊥底面ABCD，
所以∠SBA是SB與平面ABCD所成的角．
由已知∠SBA=45°，所以AB=SA=1．
易求得，AP=PD=

2

，又因為AD=2，
所以AD²=AP²+PD²，所以AP⊥PD．
因為SA⊥底面ABCD，PD?平面ABCD，
所以SA⊥PD．由于SA∩AP=A，
所以PD⊥平面SAP．（4分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，PD⊥平面SAP．又因為PD?平面SPD
所以平面SPD⊥平面SAP，過A作AH⊥SP于H，（如圖）則AH⊥平面SPD，
所以線段AH的長度為點A到平面SPD的距離．
在Rt△SAP中，易求得SP=

3

，所以AH=

SA•AP

SP

=

1× 2

3

=

6

3

．
所以點A到平面SPD的距離為

6

3

．（9分）

（Ⅲ）解：設(shè)Q為AD中點．連接PQ，由于SA⊥底面ABCD，
且SA?平面SAD，則平面SAD⊥平面ABCD．
因為PQ⊥AD，所以PQ⊥平面SAD．
過Q作QR⊥SD，垂足為R，連接PR，
由三垂線定理可知PR⊥SD，
所以∠PRQ是二面角A-SD-P的平面角．
容易證明△DRQ∽△DAS，則

QR

SA

=

DQ

SD

，
因為DQ=1，SA=1，SD=

5

，所以QR=

DQ

SD

•SA=

1

5

．
在Rt△PRQ中，因為PQ=AB=1，所以tan∠PRQ=

PQ

QR

=

5

，
所以二面角A-SD-P的大小為arctan

5

．（14分）

解法二：
因為SA⊥底面ABCD，
所以∠SBA是SB與平面ABCD所成的角．
由已知∠SBA=45°，
所以AB=SA=1．
建立空間直角坐標(biāo)系（如圖）．
由已知，P為BC中點．
于是A（0，0，0）、B（1，0，0）、P（1，1，0）、D（0，2，0）、S（0，0，1）．
（Ⅰ）易求得

AP

=(1，1，0)，

PD

=(-1，1，0)，

PS

=(-1，-1，1)．
因為

AP

•

PD

=(1，1，0)•(-1，1，0)=0，

PS

•

PD

=(-1-，1，1)•(-1，1，0)=0，
所以AP⊥PD，PS⊥PD．
因為AP∩PS=P，所以PD⊥平面SAP．（4分）
（Ⅱ）設(shè)平面SPD的法向量為n=（x，y，1），
由

n• PS =0 n• PD =0

得

x+y-1=0 -x+y=0

解得x=y=

1

2

，
所以n=(

1

2

，

1

2

，1)．又因為

AS

=(0，0，1)，
所以點A到平面SPD的距離h=

| AS •n|

|n|

=

1

1 4 + 1 4 +1

=

6

3

．（9分）
（Ⅲ）因為AB⊥平面SAD，所以

AB

是平面SAD的法向量，易得

AB

=(1，0，0)．
由（Ⅱ）知平面SPD的法向量n=(

1

2

，

1

2

，1)，
所以cos?

AB

，n?=

AB •n

| AB |•|n|

=

1 2

1 4 + 1 4 +1

=

6

6

．
所以二面角A-SD-P的大小為arccos

6

6

．（14分）

點評：本小題主要考查空間線面關(guān)系、二面角的度量等知識，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力