Question

（附加題）已知f（x）是定義在R上單調函數，對任意實數m，n有：f（m+n）=f（m）•f（n）；且x＞0時，0＜f（x）＜1．
（1）證明：f（0）=1；
（2）證明：當x＜0時，f（x）＞1；
（3）當時，求使對任意實數x恒成立的參數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）令m＞0，n=0，結合f（m+n）=f（m）•f（n），可證得f（0）=1；
（2）由f（m+n）=f（m）•f（n）；且x＞0時，0＜f（x）＜1，令m=x＜0，n=-x＞0，結合（1）中f（0）=1，可證得當x＜0時，f（x）＞1；
（3）根據函數的單調性及（2）中結論，可將抽象不等式具體化，進而根據二次不等式恒成立問題，求出參數a的取值范圍．
解答：證明：（1）在f（m+n）=f（m）•f（n）中，
取m＞0，n=0，
有f（m）=f（m）•f（0），
∵x＞0時，0＜f（x）＜1，
∴f（0）=1                                               …（2分）
（2）設m=x＜0，n=-x＞0，
則0＜f（-x）＜1，
∴f（m+n）=f（0）=f（x）•f（-x）=1
∴f（x）=＞1，
即x＜0時，f（x）＞1                                         …（5分）
解：（3）∵f（x）是定義在R上單調函數，
又f（0）=1＞
∴f（x）是定義域R上的單調遞減函數                                                 …（6分）
，且由已知f（2）＞0，
∴f（2）=                                …（7分）
∴原不等式變為，
即f（x²-2x+a-1）≤f（2）…（8分）
∴f（x）是定義域R上的單調遞減函數可得，
x²-2x+a-1≥2對任意實數x恒成立
即x²-2x+a-3≥0對任意實數x恒成立
∴△=4-4（a-3）≤0，
∴a≥4                                                    …（10分）
點評：本題考查的知識點是函數恒成立問題，抽象函數及其應用，難度稍大，是中檔題．