Question

已知函數f(x)=lg

1-x

1+x

．
（1）求函數f（x）的定義域和值域；
（2）判斷函數f（x）的奇偶性，并指出函數f（x）的單調性（單調性不需證明）．

Answer 1

分析：（1）令對數函數的真數大于0，解分式不等式求出x的范圍寫出區間形式即為定義域；將真數分離常數，利用反比例函數的值域求出函數f（x）的值域．
（2）利用函數的奇偶性的定義，先求出函數的定義域關于原點對稱，再檢驗f（-x）與f（x）的關系，判斷出函數的奇偶性，利用復合函數的單調性：同增異減判斷出函數的單調性．

解答：解：（1）由題意得 

1-x

1+x

＞0解得-1＜x＜1
∴函數f（x）的定義域為{x|-1＜x＜1}
∵

1-x

1+x

=

-x-1+2

1+x

=

2

1+x

-1
又-1＜x＜1
∴0＜x+1＜2，

2

1+x

＞1，

2

1+x

-1＞0，
∴lg(

2

1+x

-1)∈R
∴函數f（x）的值域為R
（2）對?x∈{x|-1＜x＜1}都有
f(-x)=lg

1+x

1-x

=-lg

1-x

1+x

=-f(x)
∴f（x）為奇函數
∵令t=

1-x

1+x

=

-x-1+2

1+x

=

2

1+x

-1在（-1，1）遞減
∵y=lgt在定義域上為增函數
∴f(x)=lg

1-x

1+x

在（-1，1）遞減

點評：解決判斷函數的奇偶性：應該先求出函數的定義域，定義域關于原點對稱是函數具有奇偶性的必要條件；判斷復合函數的單調性利用其法則：同增異減進行判斷．