Question

原命題：“若a=1，則函數f(x)=

1

3

x3+

1

2

ax2+

1

2

ax+1沒有極值”以及它的逆命題、否命題、逆否命題中，真命題的個數為（　　）

A．0

B．1

C．2

D．4

Answer 1

分析：先判斷原命題的真假，由于其逆否命題與原命題有相同的真假性，進而得到逆否命題的真假；得到其逆命題為“若函數f(x)=

1

3

x3+

1

2

ax2+

1

2

ax+1沒有極值，則a=1”，而由條件得到0≤a≤2，故其逆命題是假命題，因而其否命題也是假命題，即可得到正確結論．

解答：解：當a=1時，函數f(x)=

1

3

x3+

1

2

x2+

1

2

x+1，f′(x)=x2+x+

1

2

=(x+

1

2

)2+

1

4

＞0
所以函數f(x)=

1

3

x3+

1

2

x2+

1

2

x+1沒有極值，
故“若a=1，則函數f(x)=

1

3

x3+

1

2

ax2+

1

2

ax+1沒有極值”為真命題，因而其逆否命題也為真；
其逆命題為“若函數f(x)=

1

3

x3+

1

2

ax2+

1

2

ax+1沒有極值，則a=1”
由于函數f(x)=

1

3

x3+

1

2

ax2+

1

2

ax+1沒有極值，
即函數的導數等于0無解或有唯一解（但導數在點的兩側符號相同）．
函數f(x)=

1

3

x3+

1

2

ax2+

1

2

ax+1的導數為 f′（x）=x²+ax+

a

2

，
∴△=a²-2a≤0，∴0≤a≤2，所以其逆命題是假命題，因而其否命題也是假命題；
故答案為 C

點評：本題考查函數在某點取得極值的條件，以及四種命題的真假的判斷，屬于基礎題．