Question

設數列的前項和滿足,其中.

⑴若,求及;

⑵若,求證:,并給出等號成立的充要條件.

 

Answer 1

【答案】

（1），；（2）當且僅當或時等號成立.

【解析】

試題分析：(1)已知 與 的關系式求出首項和通項，通常都是取特值和寫一個遞推式相減即可.(2)由（1）得到，分析第1,2項可得后要證的問題等價于本題是通過利用對稱項的關系來證明的，該對稱項是通過對的范圍的討論得到的. 通過累加后得到，然后不等式的兩邊同時加上即可得到答案.

試題解析：⑴ ………①,

當時代入①,得,解得;

由①得,兩式相減得(),故,故為公比為2的等比數列,

故(對也滿足);

⑵當或時,顯然,等號成立.

設,且,由(1)知,,,所以要證的不等式化為:

 

即證:

當時,上面不等式的等號成立.

當時,與,()同為負;

當時,    與,()同為正;

因此當且時,總有 ()()>0,即

,().

上面不等式對從1到求和得, ;

由此得 ;

綜上,當且時,有,當且僅當或時等號成立.

考點：1.數列的求和與通項的關系.2.數列中不等式的證明.3.數列的累加法的應用.4.分類的思想.