Question

在a＞0，b＞0的條件下，四個結論：①(

a+b

2

)2≥ab，②

2ab

a+b

≤

a+b

2

，③

a+b

2

≤

a2+b2 2

，④

b2

a

+

a2

b

≤a+b；其中正確的個數是（　　）

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

分析：欲證明②③：“

2ab

a+b

≤

a+b

2

≤

a2+b2 2

”，即要證明兩個不等式：“

2ab

a+b

≤

a+b

2

和

a+b

2

≤

a2+b2 2

”對于前一個可直接利用作差法；對于后一個先將兩邊的式子平方后再利用作差的方法，作差后結合基本不等式進行證明即得．
對于①平方后化簡即為基本不等式；對于④，通過取特殊值可知其正確與否．

解答：解：對于②③：因為a＞0，b＞0

2ab

a+b

-

a+b

2

=

4ab-a2-2ab-b2

2(a+b)

=-

(a-b)2

2(a+b)

≤0⇒

2ab

a+b

≤

a+b

2

，
當且僅當a=b時取等號．（5分） (

a+b

2

)2-(

a2+b2 2

)2=

a2+2ab+b2

4

-

a2+b2

2

=

-a2+2ab-b2

4

=-

(a-b)2

4

⇒(

a+b

2

)2-(

a2+b2 2

)2≤0⇒(

a+b

2

)2≤(

a2+b2 2

)2⇒

a+b

2

≤

a2+b2 2

，
當且僅當a=b時取等號．（11分）
綜上知：

2ab

a+b

≤

a+b

2

≤

a2+b2 2

，當且僅當a=b時等號成立；
①：由于 (

a+b

2

)2-ab=

a2+b2+2ab

4

=

(a+b)

4

2≥0，成立，故 ①正確．
④：取a=2，b=1，代入可知其不成立．
故選C．

點評：本題主要考查了不等式的證明方法，主要方法有：作差法，分析法，綜合法都可，作差法是指：應用數的減法運算可以比較兩個數的大小，這就是“作差法”，既要比較兩個數a與b的大小，可先求出a與b的差a-b與0比較即可．