Question

設數列{a_n}的前n項和為S_n，若a₁=1，，3tS_n-（2t+3）S_n-1=3t（t為正常數，n=2，3，4…）．
（1）求證：{a_n}為等比數列；
（2）設{a_n}公比為f（t），作數列b_n使，試求b_n，并求b₁b₂-b₂b₃+b₃b₄-b₄b₅+…+b_2n-1b_2n-b_2nb_2n+1（n∈N*）

Answer 1

（1）證明：∵a₁=1，3tS_n-（2t+3）S_n-1=3t（n≥2，n∈N^*）①
∴3tS_n-1-（2t+3）S_n-2=3t（n≥3，n∈N*）②
①②兩式相減得

又n=2時，

∴a_n是以1為首項，為公比的等比數列．
（2）解：∵，∴，∴
∴b_n是以1為首項，為公差的等差數列，∴
∴b₁b₂-b₂b₃+b₃b₄-b₄b₅+…+b_2n-1b_2n-b_2nb_2n+1（n∈N*）
=b₂（b₁-b₃）+b₄（b₃-b₄）+…+b_2n（b_2n-1-b_2n+1）
=．
分析：（1）因為a_n=S_n-S_n-1（n≥2，n∈N^*），所以在3tS_n-（2t+3）S_n-1=3t的基礎上，用n-1替換n構造與它類似的關系式；然后利用作差法求出a_n與a_n-1的關系式，進而可整理為等比數列形式；但不要忘掉未含項的檢驗．
（2）由（1）知{a_n}的公比f（t），又b_n=f（），則可找到b_n與b_n-1的關系，進而可整理為等差數列形式；則由等差數列通項公式可求b_n；代數式b₁b₂-b₂b₃+b₃b₄-b₄b₅+…+b_2n-1b_2n-b_2nb_2n+1的求值，可利用分組的方法，把它轉化到等差數列的性質與前n項和公式上去，則問題解決．
點評：若數列{a_n}的前n項和為S_n，則a_n=S_n-S_n-1（n≥2，n∈N^*）是實現前n項和S_n向通項a_n轉化的橋梁與紐帶，進而可結合等差數列、等比數列的定義與性質解決問題．