Question

【題目】過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線(xiàn)l與y軸交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)T且垂直于l的直線(xiàn)與直線(xiàn)相交于點(diǎn)M.

（1）求M的軌跡方程；

（2）設(shè)M位于第一象限，以AM為直徑的圓與y軸相交于點(diǎn)N，且，求的值.

Answer 1

【答案】（1）（2）4

【解析】

（1）動(dòng)直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)和，可根據(jù)垂直求出直線(xiàn)，從而求出交點(diǎn)M的坐標(biāo)，從而尋找橫縱坐標(biāo)的關(guān)系，求出點(diǎn)M的軌跡方程. （2）由題意可知：點(diǎn)N即為圓與y軸的切點(diǎn)，根據(jù)，可求出直線(xiàn)AM的斜率，進(jìn)而求出直線(xiàn)AM的方程，從而求出的值.

解：（1）∵，，當(dāng)時(shí)，M的坐標(biāo)為

當(dāng)時(shí)，，∴，∴的方程為

由得，

驗(yàn)證當(dāng)時(shí)，也滿(mǎn)足

∴M的坐標(biāo)滿(mǎn)足方程，即M的軌跡方程為

（2）作軸于，軸于，則

又A為拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，∴，故圓與y軸相切于點(diǎn)N

∵，∵，∴，∴直線(xiàn)AM的方程為

聯(lián)立，消去y整理得，解得或（舍），即

∵A為拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，∴