【題目】如圖，已知四邊形
的直角梯形，
,
，
，
為線段
的中點，
平面，
，
為線段
上一點（不與端點重合）.
（Ⅰ）若
，
（i）求證：
平面
；
（ii）求直線
與平面所成的角的大小；
（Ⅱ）否存在實數
滿足
，使得平面
與平面
所成的銳角為
，若存在，確定的值，若不存在，請說明理由.
【答案】（Ⅰ）（i）見解析（ii）
（Ⅱ）
【解析】
（Ⅰ）（i）先根據平行四邊形性質得
，再根據線面平行判定定理得結果，（ii）先根據條件建立空間直角坐標系，設立各點坐標，列方程組解得平面
的法向量，根據向量數量積得向量夾角，最后根據線面角與向量夾角關系得結果.（Ⅱ）先根據條件建立空間直角坐標系，設立各點坐標，列方程組解得兩平面法向量，根據向量數量積得向量夾角，最后根據二面角與向量夾角關系得結果.
（Ⅰ）（i）證明：連接
交
于點
，連接
，
，依題意易證四邊形
為平行四邊形.
∴
又∵
，
∴
又∵
平面
，
平面，
∴
平面.
（ii）解：如圖，在平行四邊形
中∵
，
，∴
以
為原點建立空間直角坐標系
則
，
∴
設
為平面的法向量
則
，得
，不妨設
∴
又
，∴
即直線
與平面所成的角的大小為
.
（Ⅱ）設
∴
∴
設
為平面
的法向量，
則
得，
，不妨設
，
又平面
的法向量為
，
∴
.
∴
∴
，
，∴
.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】江夏一中將要舉行校園歌手大賽，現有3男3女參加，需要安排他們的出場順序．（結果用數字作答）
（1）如果3個女生都不相鄰，那么有多少種不同的出場順序？
（2）如果女生甲在女生乙的前面（可以不相鄰），那么有多少種不同的出場順序？
（3）如果3位男生都相鄰，且女生甲不在第一個出場，那么有多少種不同的出場順序？
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某高校在2012年的自主招生考試成績中隨機抽取
名中學生的筆試成績，按成績分組，得到的頻率分布表如表所示．
組號 | 分組 | 頻數 | 頻率 |
第1組 |
| 5 |
|
第2組 |
| ① |
|
第3組 |
| 30 | ② |
第4組 |
| 20 |
|
第5組 |
| 10 |
|
（1）請先求出頻率分布表中
位置的相應數據，再完成頻率分布直方圖；
（2）為了能選拔出最優秀的學生，高校決定在筆試成績高的第
組中用分層抽樣抽取名學生進入第二輪面試，求第3、4、5組每組各抽取多少名學生進入第二輪面試；
（3）在（2）的前提下，學校決定在
名學生中隨機抽取
名學生接受
考官進行面試，求：第
組至少有一名學生被考官面試的概率．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】2019年2月13日《煙臺市全民閱讀促進條例》全文發布，旨在保障全民閱讀權利，培養全民閱讀習慣，提高全民閱讀能力，推動文明城市和文化強市建設．某高校為了解條例發布以來全校學生的閱讀情況，隨機調查了200名學生每周閱讀時間
（單位：小時）并繪制如圖所示的頻率分布直方圖．
（1）求這200名學生每周閱讀時間的樣本平均數
和樣本方差
（同一組中的數據用該組區間的中間值代表）；
（2）由直方圖可以認為，目前該校學生每周的閱讀時間服從正態分布
，其中
近似為樣本平均數，
近似為樣本方差．
（i）一般正態分布的概率都可以轉化為標準正態分布的概率進行計算：若
，令
，則
，且
．利用直方圖得到的正態分布，求
．
（ii）從該高校的學生中隨機抽取20名，記
表示這20名學生中每周閱讀時間超過10小時的人數，求
（結果精確到0.0001）以及的數學期望．
參考數據：
，
．若，則
.
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