Question

如圖1，已知幾何體的下部是一個底面為正六邊形、側面全為矩形的棱柱，上部是一個側面全為等腰三角形的棱錐，圖2是該幾何體的主視圖．
（1）求該幾何體的體積；
（2）證明：DF₁平面PA₁F₁．

Answer 1

（1）由題意可知，該幾何體由下部正六棱柱和上部正六棱錐組合而成，
∴正六棱柱的體積為：V₁=Sh=6×

1

2

×2×

3

×2=12

3

；  …（3分）
正六棱錐的體積為：V2=

1

3

Sh=

1

3

×6×

1

2

×2×

3

×3=6

3

；   …（6分）
∴該幾何體的體積的體積為V=V₁+V₂=18

3

．           …（7分）
（2）證明：∵側面全為矩形，∴AF⊥FF₁；
在正六邊形ABCDEF中，AF⊥DF，…（8分）
∵DF∩FF₁=F，∴AF⊥平面DFF₁；           …（9分）
∵AF∥A₁F₁，∴A₁F₁⊥平面DFF₁；
又DF₁?平面DFF₁，∴A₁F₁⊥DF₁；…（11分）
（注：也可以由勾股定理得到）
在△DFF₁中，FF₁=2，DF=2

3

，∴DF₁=4，
∵PF1=PD1=

13

；
∴在平面PA₁ADD₁中，如圖所示，PD=

52+22

=

29

，
∴DF12+PF12=PD2，故DF₁⊥PF₁；…（13分）
∵A₁F₁∩PF₁=F₁，∴DF₁⊥平面PA₁F₁．                     …（14分）