Question

已知A，B，C是直線l上的不同的三點，O是直線外一點，向量

OA

，

OB

，

OC

滿足

OA

-(

3

2

x2+1)•

OB

-[ln(2+3x)-y]•

OC

=

0

，記y=f（x）．
（1）求函數y=f（x）的解析式；
（2）若關于x的方程f（x）=2x+b在[0，1]上恰有兩個不同的實根，求實數b的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先根據

OA

-(

3

2

x2+1)•

OB

-[ln(2+3x)-y]•

OC

=

0

表示出向量

OA

，再由A，B，C三點共線可得到關系式

3

2

x2+1+ln(2+3x)-y=1，整理即可得到答案．
（2）將函數f（x）的解析式代入f（x）=2x+b中，整理可得

3

2

x2-2x+ln(2+3x)=b，然后令?(x)=

3

2

x2-2x+ln(2+3x)，根據導數判斷其單調性并求出其單調區間，即可求得函數φ（x）的最小值，再根據在[0，1]上恰有兩個不同的實根結合函數的性質求出答案．

解答：解：（1）

OA

=(

3

2

x2+1)•

OB

+[ln(2+3x)-y]•

OC

∵A，B，C三點共線，
∴

3

2

x2+1+ln(2+3x)-y=1∴y=

3

2

x2+ln(2+3x)
（2）方程f（x）=2x+b即

3

2

x2-2x+ln(2+3x)=b
令?(x)=

3

2

x2-2x+ln(2+3x)，
∴?′(x)=

3

2+3x

+3x-2=

9x2-1

2+3x

=

(3x+1)(3x-1)

2+3x

當x∈(0，

1

3

)時，φ′（x）＜0，φ（x）單調遞減，
當x∈(

1

3

，1)時，φ′（x）＞0，φ（x）單調遞增，
∴φ（x）有極小值為?(

1

3

)=ln3-

1

2

即為最小值．
又φ（0）=ln2，?(1)=ln5-

1

2

，又ln5-

1

2

-ln2
=ln

5

2 e

=

1

2

ln

25

4e

＞

1

2

ln

25

4×3

＞0∴ln5-

1

2

＞ln2．
∴要使原方程在[0，1]上恰有兩個不同實根，必須使ln3-

1

2

＜b≤ln2．

點評：本題主要考查向量的三點共線問題和根據導函數的正負判斷函數的單調性的問題．考查基礎知識的綜合運用．