Question

一個公差不為零的等差數列{a_n}共有100項，首項為5，其第1、4、16項分別為正項等比數列{b_n}的第1、3、5項．記{a_n}各項和的值為S．
（1）求S （用數字作答）；
（2）若{b_n}的末項不大于

S

2

，求{b_n}項數的最大值N；
（3）記數列{c_n}，c_n=a_nb_n（n∈N*，n≤100）．求數列{c_n}的前n項的和T_n．

Answer 1

分析：（1）設{a_n}的公差為d（d≠0），由已知可得（5+3d）²=5（5+15d），從而可求d，a_n，及S
（2）由已知可求等比數列的公比q及通項公式，而bn≤

S

2

?2n≤5050，可求n的最大值．再由又b_n+1＞b_n，可得b1＜b2＜…b12≤

S

2

，n≥13時bn＞

S

2

，可求N
（3）由（1）（2）可求C_n，然后考慮利用錯位相減進行求和即可

解答：解：（1）設{a_n}的公差為d（d≠0），
由b₁，b₃，b₅成等比數列，得b₃²=b₁b₅ 
即（5+3d）²=5（5+15d）⇒d=5．
所以a_n=5n （n∈N*，n≤100 ）
S=5•100+

100•99

2

5=25250 （6分）
（2）由b₁=5，b₃=20⇒q²=4（q＞0），
所以q=2，b_n=5•2^n-1 
由bn≤

S

2

?2n≤5050，
所以n的最大值為12．又b_n+1＞b_n，
所以b1＜b2＜…b12≤

S

2

，n≥13時bn＞

S

2

，所以N=12．（12分）
（3）c_n=25n•2^n-1，

Tn=25(1+2•2+3• 22+…+n•2n-1) 2Tn=25[2+2•22+…+(n-1)•2n-1+n•2n]

兩式相減得-T_n=25（1+2+•2²+…+2^n-1-n•2ⁿ）=25[（1-n）2ⁿ-1]
T_n=25[（n-1）2ⁿ+1]（n∈N*，n≤100）（16分）

點評：本題綜合考查了等差數列與等比數列的性質的綜合應用，這是高考在數列部分的考查重點試題類型，而數列中求解最大（小）項的方法長結合數列的單調性進行處理．