Question

已知實(shí)數(shù)x，a₁，a₂，y成等差數(shù)列，x，b₁，b₂，y成等比數(shù)列，則

(a1+a2)2

b1b2

的取值范圍是（　　）

• A、[4，+∞）
• B、（-∞，-4]∪[4，+∞）
• C、（-∞，0]∪[4，+∞）
• D、不能確定

Answer 1

分析：利用實(shí)數(shù)x，a₁，a₂，y成等差數(shù)列，實(shí)數(shù)x，b₁，b₂，y成等比數(shù)列，可得x+y=a₁+a₂，xy=b₁b₂，利用基本不等式，即可求得結(jié)論，注意討論xy的符號(hào)．

解答：解：∵實(shí)數(shù)x，a₁，a₂，y成等差數(shù)列，實(shí)數(shù)x，b₁，b₂，y成等比數(shù)列，
∴x+y=a₁+a₂，xy=b₁b₂，
則

(a1+a2)2

b1b2

=

(x+y)2

xy

=

x2+y2+2xy

xy

=

x

y

+

y

x

+2．
當(dāng)xy＞0時(shí)，

(a1+a2)2

b1b2

=

(x+y)2

xy

=

x2+y2+2xy

xy

=

x

y

+

y

x

+2≥2

x y × y x

+2=4，當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)取等號(hào)
當(dāng)xy＜0時(shí)，

(a1+a2)2

b1b2

=

(x+y)2

xy

=

x2+y2+2xy

xy

=

x

y

+

y

x

+2≤-2

x y × y x

+2=0，當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)取等號(hào)
綜上所述，

(a1+a2)2

b1b2

的取值范圍是（-∞，0]∪[4，+∞）．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要注意均值不等式的合理運(yùn)用．