Question

設點P是曲線y=x²-lnx上的任意一點，則點P到直線y=x-1的最小距離為

2

2

．

Answer 1

分析：對曲線y進行求導，求出點p的坐標，分析知道過點p直線與直線y=x-1平行且與曲線相切于點p，從而求出p點坐標，根據點到直線的距離進行求解；

解答：解：∵點P是曲線y=x²-lnx上的任意一點，求點P到直線y=x-1的最小距離，
∴y′=2x-

1

x

（x＞0），
令y′=2x-

1

x

=1，解得x=1或x=-

1

2

（舍去），
∴x=1，
當x=1，y=1，點p（1，1），
此時點p到直線y=x-1的最小距離d_min=

|1-1-1|

2

=

2

2

．
故答案為

2

2

；

點評：此題主要考查導數研究曲線上某點的切線方程以及點到直線的距離公式，利用了導數與斜率的關系，這是高考常考的知識點，此題是一道基礎題；