Question

【題目】已知直線與拋物線交于、兩點，是坐標原點，.

（1）求線段中點的軌跡的方程；

（2）設直線與曲線交于、兩點，，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）設,,由可解得,聯立直線:與拋物線,根據韋達定理可得,則,進而可知直線恒過定點,設為,由,作差可得,將直線的斜率公式代入,即可求得點的軌跡方程,并檢驗時是否滿足；

（2）分別聯立直線與點的軌跡方程,直線與拋物線,利用兩點間距離公式和弦長公式分別求得和,由可得范圍,進而求得的范圍,從而求解.

解:（1）設,,

,

,即,

,,

設直線:,代入,

得,則,

,解得,

:,

直線過定點,

設線段的中點坐標為,

由,作差可得,

,即,

當時,中點滿足上述方程,

故軌跡的方程為.

（2）由（1）,由可得,解得或,

與曲線交于,兩點,,

當時,；當時,,

設,,

,

由可得,則,

所以,,

則,

,

由交曲線于,兩點,知,

,,

故所求的取值范圍是.