Question

（2012•豐臺區一模）已知a＜b，函數f（x）=sinx，g（x）=cosx．命題p：f（a）•f（b）＜0，命題q：函數g（x）在區間（a，b）內有最值．則命題p是命題q成立的（　　）

A．充分不必要條件

B．必要不充分條件

C．充要條件

D．既不充分也不必要條件

Answer 1

分析：由f（a）•f（b）＜0，及f（x）在R上連續可知函數f（x）在（a，b）上存在零點，然后結合正弦函數的零點是余弦函數的最值點可判斷，若g（x）=cosx在（a，b）上有最值，f（x）=sinx在（a，b）上有零點，但由于函數f（x）=sinx在（a，b）不一定單調，f（a）f（b）＜0不一定成立

解答：解：∵f（a）•f（b）＜0，
又∵f（x）在R上連續
根據函數的零點判定定理可知，函數f（x）在（a，b）上存在零點
根據正弦函數、余弦函數的性質可知，正弦函數的零點是余弦函數的最值點
∴g（x）=cosx在（a，b）上有最值
∴p⇒q
若g（x）=cosx在（a，b）上有最值則根據余弦函數的零點是正弦函數的零點
則f（x）=sinx在（a，b）上有零點，但是由于函數f（x）=sinx在（a，b）不一定單調，f（a）f（b）＜0不一定成立
故命題p：f（a）•f（b）＜0，命題q：函數g（x）在區間（a，b）內有最值的充分不必要條件
故選A

點評：本題主要考查 了充分條件與必要條件的判斷，解題的關鍵是準確、熟練的應用函數的零點定理及正弦函數與余弦函數的性質