Question

設函數f（x）=x²+kln（x+1），其中k＞0．
（Ⅰ）當k＞

1

2

時，判斷f(x)在(-1，+∞)上的單調性；
（Ⅱ）討論f（x）的極值點．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由f（x）=x²+kln（x+1），其中k＞0．知f（x）定義域是（-1，+∞），…（1分）f′(x)=2x+

k

x+1

=

2x2+2x+k

x+1

，由此能導出f（x）在（-1，+∞）上單調遞增．
（Ⅱ）當k≥

1

2

時，f′(x)=

2x2+2x+k

x+1

≥0，f（x）無極值點．當0＜k＜

1

2

時，由2x²+2x+k=0，解得x=

-1- 1-2k

2

為極大值點，x=

-1+ 1-2k

2

為極小值點；當k≥

1

2

時，f（x）無極值點．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=x²+kln（x+1），其中k＞0．
∴f（x）定義域是（-1，+∞），…（1分）
函數f′(x)=2x+

k

x+1

=

2x2+2x+k

x+1

①…（2分）
當k＞

1

2

時，①式分子的△=4-8k=4（1-2k）＜0，
∴2x²+2x+k＞0，又x+1＞0，
所以f′(x)=

2x2+2x+k

x+1

＞0，
∴f（x）在（-1，+∞）上單調遞增．  …（5分）
（Ⅱ）當k≥

1

2

時，由（Ⅰ）知f′(x)=

2x2+2x+k

x+1

≥0，
f（x）在（-1，+∞）上的單調遞增，
故f（x）無極值點．…（6分）
當0＜k＜

1

2

時，由2x²+2x+k=0，
解得x=

-1± 1-2k

2

，
又

-1- 1-2k

2

＞-1，
所以當-1＜x＜

-1- 1-2k

2

或x＞

-1+ 1-2k

2

時，
f′(x)=

2x2+2x+k

x+1

＞0；
當

-1- 1-2k

2

＜x＜

-1+ 1-2k

2

時，
f′(x)=

2x2+2x+k

x+1

＜0．…（8分）
因此f（x）在(

-1- 1-2k

2

 ， 

-1+ 1-2k

2

)上單減，
在(-1， 

-1- 1-2k

2

)和(

-1+ 1-2k

2

 ， +∞)上單增，…（10分）
因此x=

-1- 1-2k

2

為極大值點，x=

-1+ 1-2k

2

為極小值點．…（11分）
綜上所述，當0＜k＜

1

2

時，x=

-1- 1-2k

2

為極大值點，x=

-1+ 1-2k

2

為極小值點；
當k≥

1

2

時，f（x）無極值點．…（12分）

點評：本題考查函數的單調性的判斷和極值點的討論，解題時要認真審題，仔細解答，注意導數的合理運用．