Question

如圖，在圓內接四邊形ABCD中，對角線AC，BD相交于點E．已知BC=CD=2

3

，AE=2EC，∠CBD=30°，則∠CAB=

 

，AC的長是

 

．

Answer 1

分析：根據相同的弦對應相同的弧和同弧所對的圓周角相等，得到∠CAB=30°，根據兩個三角形有兩對角對應相等，得到兩個三角形相似，根據對應邊成比例得到BE=2EC，利用余弦定理做出CE的長度，得到結果．

解答：解：∵∠ACD=∠ABE，∠CDB=∠CAB，
∴△CDE∽△ABE，
∵AE=2EC，
∴BE=2ED，BE=

2

3

BD=

2

3

12+12-2×2 3 ×2 3 ×(- 1 2 )

=4
∵∠CBD=30°，BC=CD
∴∠CAB=30°，∠CDB=30°，
在△DEC中，CE2=16+12-2×4×2

3

×

3

2

=4，
∴CE=2，
∴AC=6，
故答案為：30°；6．

點評：本題是一個比較簡單的綜合題目，在解題時，注意同弧所對的圓周角相等的重復使用，還有一個用的不是很多的結論即在同一個圓中，等弦對等弧