Question

84已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，滿足a_n+S_n=2n．
（Ⅰ）證明：數(shù)列{a_n-2}為等比數(shù)列，并求出a_n；
（Ⅱ）設(shè)b_n=（2-n）（a_n-2），求{b_n}的最大項．

Answer 1

解：（Ⅰ）證明：由a₁+s₁=2a₁=2得a₁=1；
由a_n+S_n=2n得
a_n+1+S_n+1=2（n+1）
兩式相減得2a_n+1-a_n=2，即2a_n+1-4=a_n-2，即a_n+1-2=（a_n-2）
是首項為a₁-2=-1，公比為的等比數(shù)列．故a_n-2=-，故a_n=2-，．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知
由
由b_n+1-b_n＜0得n＞3，所以b₁＜b₂＜b₃=b₄＞b₅＞…＞b_n
故b_n的最大項為．
分析：（Ⅰ）由題設(shè)條件進(jìn)行變形，整理成等比數(shù)列的形式，得證．
（Ⅱ）求出b_n=（2-n）（a_n-2）的通項公式，再作差比較相鄰項的大小，即可找出最大項．
點評：本題考查等比關(guān)系的確定以及用作差法求數(shù)列的最大項，屬于數(shù)列中的中檔題，有一定的綜合性，要求答題者有較好的觀察能力及轉(zhuǎn)化化歸的能力．