【題目】（1）如圖，對于任一給定的四面體
，找出依次排列的四個相互平行的平面
，
，
，
，使得
，且其中每相鄰兩個平面間的距離都相等；
（2）給定依次排列的四個相互平行的平面，，，，其中每相鄰兩個平面間的距離為1，若一個正四面體的四個頂點滿足：，求該正四面體的體積．
【答案】（1）見解析； （2）
.
【解析】
（1）根據題意要作出相互平行且相鄰距離相等的平面，所以先作直線平行，且取等分點，例如可取
的三等分點
，
，
的中點
，
的中點
，則有
，
，從而可得面面平行；
（2）先將正四面體補形為正方體，結合條件確定正方體的棱長，即可求正四面體
的體積．
（1）
取的三等分點，，的中點，的中點，
過三點
，，作平面
，過三點
，，作平面
，
因為，，所以平面
平面，
再過點
，
分別作平面
，
與平面平行，那么四個平面，，，依次相互平行，
由線段被平行平面，，，截得的線段相等知，每相鄰兩個平面間的距離相等，故，，，為所求平面．
（2）如圖，將此正四面體補形為正方體
（如圖），
分別取
、
、
、
的中點
、
、
、
，
平面
與
是分別過點、的兩平行平面，若其距離為1，
則正四面體滿足條件，右圖為正方體的下底面，設正方體的棱長為
，
若
，因為
，
，
在直角三角形
中，
，所以
，所以
，
又正四面體的棱長為
，
所以此正四面體的體積為
．
智慧小復習系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的離心率為
，點A為橢圓的右頂點，點B為橢圓的上頂點，點F為橢圓的左焦點，且
的面積是
．
Ⅰ.求橢圓C的方程；
Ⅱ.設直線
與橢圓C交于P、Q兩點，點P關于x軸的對稱點為
（與
不重合），則直線
與x軸交于點H，求
面積的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】一個盒子里有大小相同的3個紅球和3個黑球，從盒子里隨機取球，取到每個球的可能性是相同的，設取到一個紅球得1分，取到一個黑球得0分.
（Ⅰ）若從盒子里一次隨機取出了3個球，求得2分的概率;
（Ⅱ）著從盒子里每次摸出一個球，看清顏色后放回，連續摸3次，求得分ξ的概率分布列及期望.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在如圖所示的幾何體中，四邊形
為正方形，
平面，
，
，
．
（Ⅰ）求證：
平面
；
（Ⅱ）求
與平面
所成角的正弦值；
（Ⅲ）在棱
上是否存在一點
，使得平面
平面？如果存在，求
的值；如果不存在，說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】為了解全市統考情況，從所有參加考試的考生中抽取4000名考生的成績，頻率分布直方圖如下圖所示.
（1）求這4000名考生的半均成績
（同一組中數據用該組區間中點作代表）；
（2）由直方圖可認為考生考試成績z服從正態分布
，其中
分別取考生的平均成績和考生成績的方差
，那么抽取的4000名考生成績超過84.81分（含84.81分）的人數估計有多少人？
（3）如果用抽取的考生成績的情況來估計全市考生的成績情況，現從全市考生中隨機抽取4名考生，記成績不超過84.81分的考生人數為
，求
.（精確到0.001）
附：①
；
②
，則
；
③
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系
中，直線
的參數方程為
為參數），以
為極點，
軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線
的極坐標方程為
，點
是曲線上的動點，點
在
的延長線上，且
，點的軌跡為
．
（1）求直線及曲線的極坐標方程；
（2）若射線
與直線交于點
，與曲線交于點
（與原點不重合），求
的最大值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在四棱錐
中，底面
是菱形，
，
為等邊三角形，
是線段
上的一點，且
平面
.
（1）求證：為的中點；
（2）若
為
的中點，連接
，
，
，
，平面
平面，
，求三棱錐
的體積.
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