Question

集合A={x|x²-2ax+4a²-3=0}，B={x|x²-x-2=0}，C={x|x²+2x-8=0}．
（1）是否存在實數a使A∩B=A∪B？若存在，試求a的值，若不存在，說明理由；
（2）若∅A∩B，A∩C=∅，求a的值．

Answer 1

解：（1）假設存在存在實數a使A∩B=A∪B，即A=B．
由題意得B={x|x²-x-2=0}={-1，2}，故-1，2是方程x²-2ax+4a²-3=0的兩個根，
∴∴a=，
（2）解方程x²+2x-8=0，得C={-4，2}，∵∅A∩B，A∩C=∅，∴2∉A，-1∈A，
即x=-1是方程x²-2ax+4a²-3=0的根，且x=2不是此方程的根，
將x=-1代入，得（-1）²+2a+4a²-3=0，
∴a=-1或a=．
檢驗知a=-1即為所求．
分析：（1）對于存在性問題，可先假設存在，即假設存在存在實數a使A∩B=A∪B，即A=B．再利用根與系數的關系，求出a的值，若出現矛盾，則說明假設不成立，即不存在；否則存在．
（2）解方程得C={-4，2}，根據題意：“∅A∩B，A∩C=∅”，得2∉A，-1∈A，即可求出a的值．
點評：本小題主要考查交、并、補集的混合運算、子集與真子集、集合的相等等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想．屬于基礎題．