Question

（2011•藍山縣模擬）已知{a_n}為等比數列，a₁=1，前n項和為S_n，且

S6

S3

=28，數列{b_n}的前n項和為T_n，且點（n，T_n）均在拋物線y=

1

2

x2+

1

2

x上．
（1）求{a_n}和{b_n}的通項公式；
（2）設c_n=a_n•b_n，求{c_n}的前n項和S′_n．

Answer 1

分析：（1）設等比數列的公比為q，則由

S6

S3

=28可知q≠1，利用等比數列的求和公式可得q=3，從而可求{a_n}的通項公式；
根據數列{b_n}的前n項和為T_n，且點（n，T_n）均在拋物線y=

1

2

x2+

1

2

x上，可得Tn=

1

2

n2+

1

2

n，當n≥2時，利用b_n=T_n-T_n-1，即可求出{b_n}的通項公式；
（2）根據c_n=a_n•b_n=n•3^n-1，可知S'_n=1•3⁰+2•3¹+3•3²+…+n•3^n-1，利用錯位相減法，可求{c_n}的前n項和S′_n．

解答：解：（1）設等比數列的公比為q，則由

S6

S3

=28可知q≠1
∵

S6

S3

=28，∴

1-q6

1-q3

=1+q3=28，∴q=3
∵a₁=1，∴an=3n-1
∵數列{b_n}的前n項和為T_n，且點（n，T_n）均在拋物線y=

1

2

x2+

1

2

x上
∴Tn=

1

2

n2+

1

2

n
當n≥2時，bn=Tn-Tn-1= (

1

2

n2+

1

2

n)-[

1

2

(n-1)2+

1

2

(n-1)]=n
∵b₁=T₁=1
∴b_n=n
（2）∵c_n=a_n•b_n=n•3^n-1，∴S'_n=1•3⁰+2•3¹+3•3²+…+n•3^n-1，
∴3S'_n=1•3¹+2•3²+…+（n-1）•3^n-1+n•3ⁿ，
兩式相減，得-2S'_n=1•3⁰+1•3¹+1•3²+…+1•3^n-1-n•3ⁿ=

1-3n

1-3

-n•3ⁿ=

3n-1

2

-n•3ⁿ=

(1-2n)3n-1

2

，
得  S'_n=

(2n-1)3n+1

4

．

點評：本題考查數列的通項與前n項和，考查等差數列與等比數列，考查錯位相減法，掌握基本方法是關鍵．