Question

由計算機隨機選出大批正整數，取其最高位數字（如 35為3，110為1）的次數構成一個分布，已知這個分布中，數字1，2，3，…，9出現的概率正好構成一個首項為

1

5

的等差數列．現從這批正整數中任取一個，記其最高位數字為x （x=1，2，…，9）．
（1）求x的概率分布；
（2）求x的期望Ex．

Answer 1

分析：（1）設出數列的公差，根據數字1，2，3，…，9出現的概率正好構成一個首項為

1

5

的等差數列，和分布列中所有的概率之和是1，得到數列的方差，得到各個變量對應的概率，寫出分布列．
（2）根據上一問的分布列求出變量的期望值．

解答：解：（1）根據題意設P（ξ=n）=a_n（n═1，2，…，9），
公差為d，
∵數字1，2，3，…，9出現的概率正好構成一個首項為

1

5

的等差數列
∴

1

5

×9+

1

2

×9×8d=1，
∴d=-

1

45

，
∴P（ξ=n）=

1

5

-（n-1）

1

45

（n═1，2，…，9）
∴分布如下：

ξ	1	2	3	4	5	6	7	8	9
P	9 45	8 45	7 45	6 45	5 45	4 45	3 45	2 45	1 45

（2）根據第一問的分布列寫出期望
Ex=

2×(1×9+2×8+3×7+4×6)+25

45

=

11

3

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和期望值，考查等差數列的通項，在解題時注意分布列的性質的應用，正確利用方程思想解決概率問題．