Question

（1）若不等式ax²+5x-2＞0的解集是{x|

1

2

＜x＜2}，求不等式ax²-5x+a²-1＞0的解集．
（2）解關于x的不等式：x²-（a+a²）x+a³＜0．

Answer 1

分析：（1）先判斷a＜0，且

1

2

，2是方程ax²+5x-2=0的兩個根，利用韋達定理求出a的值，再代入不等式ax²-5x+a²-1＞0易解出其解集；
（2）先因式分解，再比較兩根的大小，即可得到結論．

解答：解：（1）∵ax²+5x-2＞0的解集是{x|

1

2

＜x＜2}，
∴a＜0，且

1

2

，2是ax²+5x-2=0的兩根，∴a=-2；
∴不等式ax²-5x+a²-1＞0可化為-2x²-5x+3＞0
解得 {x|-3＜x＜

1

2

}
故不等式ax²-5x+a²-1＞0的解集{x|-3＜x＜

1

2

}；
（2）x²-（a+a²）x+a³＜0可化為（x-a）（x-a²）＜0
①a=a²，即a=0或a=1時，解集為∅；
②a＜a²，即a＜0或a＞1時，解集為{x|a＜x＜a²}；
③a＞a²，即0＜a＜1時，解集為{x|a²＜x＜a}．

點評：本題考查的知識點是一元二次不等式的解法，及三個二次之間的關系，其中根據三個二次之間的關系求出a的值，是解答本題的關鍵．