Question

若任取x₁，x₂∈[a，b]，且x₁≠x₂，都有f(

x1+x2

2

)＞

1

2

[f(x1)+f(x2)]成立，則稱f（x）是[a，b]上的凸函數，則下列函數中，是凸函數的為（　　）

• A．y=sinx，x∈[-

  π

  2

  ，0]
• B．y=2-x²，x∈[0，2]
• C．y=x²-x，x∈[-2，1]
• D．y=x²，x∈[0，2]

Answer 1

分析：題中的代數式的幾何意義是：函數在區間[a，b]上的圖象是上凸的．因此根據這個幾何意義，分別結合各個選項的相應區間上的圖象加以判斷，不難選出正確答案．

解答：解：f（x）是[a，b]上的凸函數，它的幾何意義是
函數在區間[a，b]上的圖象是上凸的
由此判斷，y=sinx，x∈[-

π

2

，0]上的圖象是下凹的，不符合題意，故A不正確；
y=2-x²，x∈[0，2]上的圖象是開口向下的拋物線，符合上凸，故B正確；
y=x²-x，x∈[-2，1]上的圖象是開口向上的拋物線，不符合題意，故C不正確；
y=x²，x∈[0，2]上的圖象是開口向上的拋物線，不符合題意，故D不正確；
故選B

點評：本題考查了函數的凹凸性及其幾何意義，屬于中檔題．解題的關鍵是讀懂題中的式子，將其轉化為幾何圖象．