Question

【題目】已知函數f（x）= x2+lnx（其中a≠0）
（1）求f（x）的單調區間；
（2）若f（x）＜﹣ 恒成立，試求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：因為函數f（x）= x2+lnx，

則 =

①當a＞0時f′（x）＞0在x∈（0，+∞）恒成立，

②當a＜0時，令f′（x）=0，

時，f′（x）＞0，f（x） 為增函數，

時，f′（x）＜0，f（x） 為減函數

綜上，a＞0 時，f（x） 增區間為（0，+∞）\

a＜0 時，f（x）的增區間為 ，減區間

（2）解：由（1）知a＞0 時，在f（x）在（0，+∞）遞增，

且x=1時，f（1） ，

則

∴ 不恒成立，

故a＜0

又f（x）的極大值即f（x）最大

因為

只須

∴ ，即 ，

∴﹣2＜a＜0

即a的取值范圍是（﹣2，0）

【解析】（1）求出導函數，當a＞0時f′（x）＞0在x∈（0，+∞）恒成立，得到f（x）在（0，+∞）上遞增，當a＜0時，令導函數大于0求出遞增區間；導函數小于0求出遞減區間．（2）利用（1）的單調性，求出函數f（x）的極值，進一步求出函數的最值，得到參數a的范圍．
【考點精析】認真審題，首先需要了解利用導數研究函數的單調性(一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減)，還要掌握函數的最大(小)值與導數(求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值)的相關知識才是答題的關鍵．