Question

已知

a

=(2cosα，2sinα)，

b

=(cosβ，sinβ)，0＜α＜β＜2π．
（Ⅰ）若

a

⊥

b

，求|

a

-2

b

|的值；
（Ⅱ）設

c

=(2，0)，若

a

+2

b

=

c

，求α，β的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據

a

⊥

b

，可以得到

a

•

b

=0，然后求解|

a

-2

b

|2，利用向量的運算性質，展開化簡，即可求得|

a

-2

b

|的值；
（Ⅱ）根據

a

+2

b

=

c

，利用向量相等的概念，即可得到

cosα+cosβ=1 sinα+sinβ=0

，消去α，即可得到β的余弦值，從而求得β的值，即可求得α的值．

解答：解：（Ⅰ）∵

a

⊥

b

，
∴

a

•

b

=0，
又∵

a

=(2cosα，2sinα)，

b

=(cosβ，sinβ)，
∴

a

2=|

a

|2=4cos2α+4sin2α=4，

b

2=|

b

|2=cos2β+sin2β=1，
∴|

a

-2

b

|2=(

a

-2

b

)2=

a

2-4

a

b

+4

b

2=4+4=8，
∴|

a

-2

b

|=2

2

；
（Ⅱ）∵

a

=(2cosα，2sinα)，

b

=(cosβ，sinβ)，且

c

=(2，0)，
又∵

a

+2

b

=

c

，
∴

a

+2

b

=(2cosα+2cosβ，2sinα+2sinβ)=(2，0)，
∴

cosα+cosβ=1 sinα+sinβ=0

，即

cosα=1-cosβ sinα=-sinβ

，
∴兩邊分別平方再相加可得，1=2-2cosβ，
∴cosβ=

1

2

，
∴cosα=

1

2

，
又∵0＜α＜β＜2π，且sinα+sinβ=0，
∴α=

1

3

π，β=

5

3

π．

點評：本題考查了平面向量數量積的運算，模的運算，向量相等的概念，以及三角函數的運算．綜合考查了平面向量的相關運算，是三角函數和向量的一個綜合應用題．屬于中檔題．