Question

已知直線l：y=kx+k+1，拋物線C：y²=4x，定點M（1，1）．
（I）當直線l經過拋物線焦點F時，求點M關于直線l的對稱點N的坐標，并判斷點N是否在拋物線C上；
（II）當k（k≠0）變化且直線l與拋物線C有公共點時，設點P（a，1）關于直線l的對稱點為Q（x，y），求x關于k的函數關系式x=f（k）；若P與M重合時，求x的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）根據拋物線方程可求得焦點坐標，代入直線方程求得k，設點N（m，n）根據M與N的對稱性聯立方程，求得m和n，可得N的坐標，把N的坐標代入拋物線方程，結果等式不成立，進而可判斷點N不在拋物線C上．
（2）直線方程與拋物線方程聯立消去x，根據判別式大于等于0，求得k的范圍，根據P，Q的對稱聯立方程求得x的表達式，根據P與M重合時a=1，根據函數f（x）的單調性和奇偶性求得x的范圍．
解答：解：（I）由焦點F（1，0）在l上，得
設點N（m，n）則有：，
解得，
∴
∵，
N點不在拋物線C上．
（2）把直線方程代入拋物線方程得：ky²-4y+4k+4=0，
∵相交，∴△=16（-k²-k+1）≥0，


解得．
當P與M重合時，a=1
∴，
∵函數x=f（x）（k∈R）是偶函數，且k＞0時單調遞減．
∴，
，
點評：本題主要考查了拋物線的應用及拋物線與直線的關系．此類題是高考常考類型，平時應加強練習．