Question

已知函數f(x)=lnx，g(x)=

1

2

x2+t(t為常數），直線l與函數f（x），g（x）的圖象都相切，且l與函數f（x）圖象的切點的橫坐標為1，則t的值為

-

1

2

．

Answer 1

分析：根據導數的幾何意義求出函數f（x）在x=1處的導數，從而求出切線的斜率，再用點斜式寫出切線方程，化成斜截式即可，再根據直線l與函數f（x）、g（x）的圖象都相切建立等量關系，即可求出t的值．

解答：解：f′（x）=

1

x

，f′（1）=1，故直線l的斜率為1，
切點為（1，f（1）），即（1，0），
∴直線l：y=x-1 ①
又∵g′（x）=x，直線l：y=x-1與函數g（x）的圖象都相切
∴令g′（x）=1，解得x=1，即切點為（1，

1

2

+t）
∴l：y-（

1

2

+t）=x-1，即y=x-

1

2

+t ②
比較①和②的系數得-

1

2

+t=-1，∴t=-

1

2

．
故答案為：-

1

2

．

點評：本題主要考查了利用導數研究曲線上某點切線方程，同時考查了轉化的思想，屬于中檔題．解題時要認真審題，注意合理地進行等價轉化．