Question

已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+Φ）（A＞0，ω＞0，|x|＜π），在一周期內(nèi)，當x=

π

12

時，y取得最大值3，當x=

7π

12

時，y取得最小值-3，
求（1）函數(shù)的解析式．
（2）求出函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間與對稱軸方程，對稱中心坐標；
（3）當x∈[-

π

12

，

π

12

]時，求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）由題干得出A，同一周期內(nèi)兩個最值點的橫坐標之差的絕對值是半個T，從而得出ω，代入最高點坐標令ωx+Φ=

π

2

求出φ，得函數(shù)的解析式；
（2）由（1）知：ω=2，φ=

π

3

，把2x+

π

3

看作X分別代入正弦函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間、對稱軸方程、對稱中心坐標分別求出x得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間、對稱軸方程、對稱中心坐標；
（3）由x的范圍得2x+

π

3

的范圍，由正弦函數(shù)的圖象得sin（2x+

π

3

）的范圍，由不等式得3sin（2x+

π

3

）的范圍，即函數(shù)f（x）的值域．

解答：解：（1）由題設知，A=3，

T

2

=

7π

12

-

π

12

=

π

2

，∴T=π，∴ω=2，
∴f（x）=3sin（2x+φ），∵3sin（2×

π

12

+φ）=3，∴sin（

π

6

+φ）=1，
∴

π

6

+φ=

π

2

，∴φ=

π

3

，，∴f（x）=3sin（2x+

π

3

）；
（2）由-

π

2

+2kπ≤2x+

π

3

≤

π

2

+2kπ得-

5π

12

+kπ≤x≤

π

12

+kπ，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[-

5π

12

+kπ，

π

12

+kπ]（k∈Z），
由2x+

π

3

=

π

2

+kπ得x=

π

12

+

kπ

2

，
∴函數(shù)f（x）的對稱軸方程為x=

π

12

+

kπ

2

（k∈Z），
由2x+

π

3

=kπ得x=-

π

6

+

kπ

2

（k∈Z），
∴函數(shù)f（x）的對稱中心坐標為（-

π

6

+

kπ

2

，0）（k∈Z）；
（3）∵x∈[-

π

12

，

π

12

]，∴2x+

π

3

∈[

π

6

，

π

2

]，
∴sin（2x+

π

3

）∈[

1

2

，1]，∴3sin（2x+

π

3

）∈[

3

2

，3]，
∴函數(shù)f（x）的值域為[

3

2

，3]．

點評：求y=Asin（ωx+φ）的解析式，條件不管以何種方式給出，一般先求A，再求ω，最后求φ；求y=Asin（ωx+φ）的單調(diào)遞增區(qū)間、對稱軸方程、對稱中心坐標時，要把ωx+φ看作整體，分別代入正弦函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間、對稱軸方程、對稱中心坐標分別求出x，這兒利用整體的思想；求y=Asin（ωx+φ）的值域時，從x的范圍由里向外擴，一直擴到
Asin（ωx+φ）的范圍，即函數(shù)f（x）的值域．