Question

選修4-1：幾何證明選講
如圖，△ABC是等邊三角形，以AC為直徑做圓交BC與D，作DE⊥AC交圓與E．
（1）求證：△ADE是等邊三角形
（2）求S_△ABC：S_△ADE．

Answer 1

【答案】分析：（1）由三角形ABC為等邊三角形可得三內角都相等，都為60°，又AC為圓的直徑，根據直徑所對的圓周角為直角可得AD垂直于BC，求出∠DAC=30°，從而得到∠ADE=60°，再利用同弧所對的圓周角相等可得∠AED=60°，利用三角形的內角和定理可得第三個角也為60°，得到三角形ADE三個內角相等，從而得證；
（2）由兩三角形都為等邊三角形可得三角形ABC與三角形ADE相似，由（1）得到AD與BC垂直，利用三線合一可得D為BC中點，設出三角形ABC三邊都為1，可求出CD的長，在直角三角形ACD中利用勾股定理求出AD的長，根據相似三角形的面積之比等于相似比的平方，求出對應邊AB與AD的比值，平方可求出兩三角形的面積比．
解答：解：（1）∵△ABC是等邊三角形，
∴∠BAC=∠ACB=∠B=60°，
∵AC為圓的直徑，∴∠ADC=90°，
在直角三角形中，∠ACB=60°可得∠DAC=30°，
∴∠ADE=60°，
又∠AED與∠ACB為圓的圓周角，且都對一條弧，
∴∠AED=∠ACB=60°，
∴∠DAE=180-60°-60°=60°，
∴∠DAE=∠ADE=∠AED，
∴AD=DE=AE，即△AED為等邊三角形；
（2）設BC=AB=AC=1，
由（1）得AD⊥BC，且△ABC為等邊三角形，
∴D為BC的中點，即DB=CD=，
在Rt△ACD中，根據勾股定理求得：AD=，
而△ABC∽△ADE，
所以S_△ABC：S_△ADE=AB²：AD²==4：3．
點評：此題考查了等邊三角形的判定與性質，圓周角定理，勾股定理，以及相似三角形的判定與性質，要求學生結合圖形，利用轉化的思想，分析已知與未知的聯系，從而達到解決問題的目的．熟練掌握等邊三角形的判定與性質是第一問證明的關鍵，第二問的關鍵是掌握相似三角形的面積之比等于相似比的平方．