Question

已知函數(shù)f(x)=

1

3

ax3+ax2+4，g（x）=2（x+2）²，h（x）=f（x）+g（x）．
（Ⅰ）當(dāng)a=1時，求f（x）與g（x）的公共單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若函數(shù)h（x）有極值，求實數(shù)a的何值范圍；
（Ⅲ）當(dāng)a＜0時，討論函數(shù)h（x）的零點個數(shù)．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的公共單調(diào)區(qū)間．
（Ⅱ）利用函數(shù)h（x）有極值，求實數(shù)a的何值范圍．
（Ⅲ）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)h（x） 的零點個數(shù)．

解答：解：（Ⅰ）當(dāng)a=1時，f'（x）=x²+2x=x（x+2）…（1分）
由f'（x）＞0得x＜-2或x＞0，由f'（x）＜0得-2＜x＜0，
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（-∞，-2），（0，+∞），遞減區(qū)間是（-2，0），…（3分）
又g（x）的對稱軸為x=-2且開口向上，
∴g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（-2，+∞），遞減區(qū)間是（-∞，-2），…（4分）
∴a=1時，f（x）與g（x）的公共單調(diào)遞增區(qū)間是（0，+∞），無公共遞減區(qū)間…（5分）
（Ⅱ）h(x)=f(x)+g(x)=

1

3

ax3+(a+2)x2+8x+12
∴h'（x）=ax²+2（a+2）x+8=（ax+4）（x+2）…（6分）
①當(dāng)a=0時，h'（x）=2x²+8x+12=2（x+2）²+4在（-2，+∞）遞增，
在（-∞，-2）遞減，則h（x）有極小值，符合題設(shè)…（7分）
②當(dāng)a≠0時，令h'（x）=0得，x₁=-2，x2=-

4

a

，
若函數(shù)h（x）有極值，h'（x）=0兩個相異實根，∴-2≠-

4

a

，得 a≠2
綜上（1）（2）得，若函數(shù)h（x）有極值，實數(shù)a的何值范圍是：{a/a≠2，a∈R}…（9分）
（Ⅲ）∵a＜0，由h'（x）=（ax+4）（x+2）=0得x=-2或x=-

4

a

，
則-

4

a

＞-2
將x，h'（x），h（x）的變化情況列表如下：

x	（-∞，-2）	-2	（-2，- 4 a ）	- 4 a	（- 4 a ，+∞）
h'（x）	-	0	+	0	-
h （ x ）	↘	極小值	↗	極大值	↘

∴h(x)極小值=h(-2)=

4

3

a+4，h（x）_極大值＞h（0）=12＞0…（11分）
（另解：設(shè)

1

a

=t，h(x)極大值=h(-4t)=

32

3

(t-

3

4

)2+6＞0，亦可）
當(dāng)

4

3

a+4＞0即-3＜a＜0時，在x充分大時，h（x）＜0，∴h（x）零點個數(shù)為1；
當(dāng)

4

3

a+4=0即a=-3時，h（x）零點個數(shù)為2；
當(dāng)

4

3

a+4＜0即a＜-3時，h（x）零點個數(shù)為3；               …（13分）
綜上所述，當(dāng)-3＜a＜0時，h（x）零點個數(shù)為1；當(dāng)a=-3時，h（x）零點個數(shù)為2；
當(dāng)a＜-3時，h（x）零點個數(shù)為3．…（14分）

點評：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，極值和最值以及函數(shù)零點的個數(shù)，綜合性較強．