Question

已知等比數列{a_n}的前n項和S_n＝2ⁿ－a，n∈N^*．設公差不為零的等差數列{b_n}滿足：b₁＝a₁＋2，且b₂＋5，b₄＋5，b₈＋5成等比數列．

（Ⅰ）求a的值及數列{b_n}的通項公式；

（Ⅱ）設數列{loga_n}的前n項和為T_n．求使T_n＞b_n的最小正整數n．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）a＝1，b_n＝8n－5；（Ⅱ）9.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）依據S_n＝2ⁿ－a，根據數列的前n項和，求出數列{a_n}的通項公式，并且根據初始條件求出a＝1，a_n＝2^n－1，再根據b₂＋5，b₄＋5，b₈＋5成等比數列，得出(b₄＋5)²＝(b₂＋5)(b₈＋5)，解得d＝0（舍去），或d＝8，從而求出{b_n}的通項公式為b_n＝8n－5；（Ⅱ）由（Ⅰ）a_n＝2^n－1代入loga_n＝2(n－1)，易知該數列是等差數列，根據等差數列的前n項和，求出T_n＝＝n(n－1)，而b_n＝8n－5，根據T_n＞b_n，n(n－1)＞8n－5，解得n≥9，故所求n的最小正整數為9.

試題解析：

（Ⅰ）當n＝1時，a₁＝S₁＝2－a；

當n≥2時，a_n＝S_n－S_n－1＝2^n－1．

∵{a_n}為等比數列，

∴2－a＝1，解得a＝1．

∴a_n＝2^n－1．

設數列{b_n}的公差為d，

∵b₂＋5，b₄＋5，b₈＋5成等比數列，

∴(b₄＋5)²＝(b₂＋5)(b₈＋5)，

又b₁＝3，

∴(8＋3d)²＝(8＋d)(8＋7d)，

解得d＝0（舍去），或d＝8．

∴b_n＝8n－5．

（Ⅱ）由a_n＝2^n－1，得loga_n＝2(n－1)，

∴{loga_n}是以0為首項，2為公差的等差數列，

∴T_n＝＝n(n－1)．

由b_n＝8n－5，T_n＞b_n，得

n(n－1)＞8n－5，即n²－9n＋5＞0，

∵n∈N^*，∴n≥9．

故所求n的最小正整數為9．

考點：1.數列通項公式的求解；2.等差、等比數列的性質應用.