Question

已知函數f（x）=4sinωxcos（ωx+

π

3

）+

3

（ω＞0）的最小正周期為π．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若y=f（x）+m在[-

π

4

，

π

6

]的最小值為2，求m值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）首先展開兩角和的余弦公式，然后利用單項式乘多項式展開，降冪后化為y=Asin（ωx+Φ）的形式，由周期求出ω，則函數的解析式可求；
（Ⅱ）根據（Ⅰ）中求出的解析式，結合給出的角的范圍求出y=f（x）+m在[-

π

4

，

π

6

]的最小值，由最小值為2列式求m的值．

解答：解：解：（Ⅰ）由f（x）=4sinωxcos（ωx+

π

3

）+

3

，得
f(x)=4sinωx(cosωxcos

π

3

-sinωxsin

π

3

)+

3

=2sinωxcosωx-2

3

sin2ωx+

3

=sin2ωx+

3

cos2ωx
=2sin(2ωx+

π

3

)．
∵T=

2π

2ω

=π，∴ω=1
∴f(x)=2sin(2x+

π

3

)；
（2）y=f（x）+m=2sin(2x+

π

3

)+m
∵-

π

4

≤x≤

π

6

，∴-

π

6

≤2x+

π

3

≤

2

3

π．
當2x+

π

3

=-

π

6

，即x=-

π

4

時，y_min=-1+m=2，∴m=3．

點評：本題考查了函數解析式的求法，考查了與三角函數有關的復合函數的單調性，訓練了三角函數的最值的求法，是中檔題．