Question

如圖，已知長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD為正方形，E為線段AD₁的中點，F為線段BD₁的中點．
（1）求證：EF∥平面ABCD；
（2）設M為線段C₁C的中點，當

D1D

AD

的比值為多少時，DF⊥平面D₁MB，
并說明理由．

Answer 1

分析：（1）要證：EF∥平面ABCD，只需證明EF∥AB，由直線與平面平行的判定定理可知EF∥平面ABCD．
（2）F為線段BD₁的中點，當

D1D

AD

=

2

時，易證DF⊥BD₁，再證MF⊥平面BB₁D₁D，就能證明FM⊥DF，即可證明DF⊥平面D₁MB．

解答：解：（1）∵E為線段AD₁的中點，F為線段BD₁的中點，
∴EF∥AB，
∵EF?平面ABCD，AB?平面ABCD，
∴EF∥面ABCD．
（2）當

D1D

AD

=

2

時，DF⊥平面D₁MB．
證明如下：連接AC，BD．
設AC與BD交于點O、連接OF，FM．在長方體中，
∵O是BD的中點，
∴OF∥DD₁且OF=

1

2

DD₁、而CM∥DD₁且CM=

1

2

DD₁．
∴OF∥CM且OF=CM，
∴四邊形OCMF是平行四邊形．
∴FM∥OC．
∵DD₁⊥平面ABCD，
∴D₁D⊥OC，而OC⊥BD，
∴OC⊥平面BB₁D₁D，
∴OC⊥DF，
∴FM⊥DF．
∵D1D=

2

AD，
∴D₁D=BD．
∵F為BD₁的中點，
∴DF⊥BD₁．
∵FM∩BD₁=F，
∴DF⊥平面BD₁M．

點評：本題考查直線與平面平行和垂直的判斷，考查學生邏輯思維能力，空間想象能力，是難題．