Question

底面是正方形的四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，側棱AA₁⊥底面ABCD，E是CC₁的中點，O是AC、BD的交點．
（1）求證：AC₁∥平面BDE；
（2）求證：平面BDE⊥平面ACC₁．

Answer 1

【答案】分析：（1）如圖所示，連接OE．正方形ABCD中，O是AC的中點，又已知E是線段CC₁的中點，由三角形的中位線定理即可證明結論．
（2）根據面面垂直的判定定理，只要證明其中一個平面經過另一個平面的垂線即可，從圖中觀察看出應證明BD⊥平面ACC₁即可．
解答：證明：（1）如圖所示，連接OE．正方形ABCD中，AC⊥BD，O是AC的中點．
∵E是線段CC₁的中點，∴在△ACC₁中，由三角形的中位線定理得OE∥AC₁．
∵EO?平面BDE，AC₁?平面BDE，
∴AC₁∥平面BDE．
（2）∵側棱AA₁⊥底面ABCD，且CC₁∥AA₁．
∴AA₁⊥BD，
∵BD⊥AC，AC∩AA₁=A，
∴BD⊥平面ACC₁．
∵BD?平面BDE，
∴平面BDE⊥平面ACC₁．
點評：本題考查了線面平行和面面垂直，充分理解和掌握其定理是解題的關鍵．