Question

設函數f（x）=x³-3ax+b（a≠0），且曲線y=f（x）在點（2，f（x））處與直線y=8相切．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）求函數f（x）的單調區間與極值點．
提示：導數的幾何意義是指：函數在該點的導數值等于與曲線相切于該點的切線的斜率k=f/(x)

.

x=x 0

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求導函數，利用曲線y=f（x）在點（2，f（x））處在直線y=8相切，建立方程組，即可求得a，b的值；
（Ⅱ）f′（x）=3（x²-4）=3（x+2）（x-2），令f′（x）＞0，可得函數的單調增區間；令f′（x）＜0，可得函數的單調減區間，從而可的函數f（x）的極大值點與極小值點．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=x³-3ax+b（a≠0），
∴f′（x）=3x²-3a．
∵曲線y=f（x）在點（2，f（x））處在直線y=8相切
∴

f′(2)=0 f(2)=8

，即

3(4-a)=0  8-6a+b=8

∴a=4，b=24；
（Ⅱ）f′（x）=3（x²-4）=3（x+2）（x-2）
令f′（x）＞0，可得x＜-2或x＞2；
令f′（x）＜0，可得-2＜x＜2
∴函數的單調增區間為（-∞，-2），（2，+∞），單調減區間為（-2，2）
∴x=-2是函數f（x）的極大值點，x=2是函數f（x）的極小值點．

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性與極值，正確求導是關鍵．