Question

【題目】設函數f（x）=|x﹣2|+|x+a|（a∈R）．
（1）若a=1時，求不等式f（x）≥4的解集；
（2）若不等式f（x）≤2x的解集為[1，+∞），求a的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：a=1時，f（x）≥4可化為|x﹣2|+|x+1|≥4．

x＜﹣1時，2﹣x﹣x﹣1≥4，∴x≤﹣ ；

﹣1≤x≤2時，2﹣x+x+1≥4，無解；

x＞2時，x﹣2+x+1≥4，∴x≥ ．

綜上所述，不等式的解集為{x|x≤﹣ 或x≥ }

（2）解：∵不等式f（x）≤2x的解集為[1，+∞），

∴|x﹣2|+|x+a|=2x的一個根是1，

∴a=0或﹣2．

a=0時，由|x﹣2|+|x|≤2x，解得x≥1，合題意；

a=﹣2時，由2|x﹣2|≤2x，解得x≥1，合題意；

綜上所述，a=0或﹣2

【解析】（1）a=1時，f（x）≥4可化為|x﹣2|+|x+1|≥4．去掉絕對值符號解不等式，即可求不等式f（x）≥4的解集；（2）若不等式f（x）≤2x的解集為[1，+∞），則|x﹣2|+|x+a|=2x的一個根是1，求出a，再進行驗證，即可求a的值．
【考點精析】通過靈活運用絕對值不等式的解法，掌握含絕對值不等式的解法：定義法、平方法、同解變形法，其同解定理有；規律：關鍵是去掉絕對值的符號即可以解答此題．