Question

如圖，三棱錐V—ABC中，VA⊥底面ABC，∠ABC=90°.

(1)求證：V、A、B、C四點在同一球面上；

(2)過球心作一平面與底面內直線AB垂直，求證：此平面截三棱錐所得的截面是矩形.

Answer 1

證明：(1)取VC的中點M,∵VA⊥底面ABC,∠ABC=90°,∴BC⊥VB.在Rt△VBC中，M為斜邊VC的中點，

∴MB=MC=MV. 同理,在Rt△VAC中,MA=MV=MC.

∴MV=MC=MA=MB.

∴V、A、B、C四點在同一圓面上，M是球心.

(2)取AC、AB、VB的中點分別為N、P、Q，連結NP、PQ、QM、MN，則MNPQ就是垂直于AB的三棱錐V—ABC的截面，易證PQMN是平行四邊形.又VA⊥BC,QP∥VA,NP∥BC,∴QP⊥PN.故截面MNPQ是矩形.