Question

4．在直角坐標系xOy中，曲線C的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數）．以點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$．
（Ⅰ）將曲線C和直線l化為直角坐標方程；
（Ⅱ）設點Q是曲線C上的一個動點，求它到直線l的距離的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三種方程互化方法，將曲線C和直線l化為直角坐標方程；
（Ⅱ）由于點Q是曲線C上的點，則可設點Q的坐標為（$\sqrt{3}$cosθ，sinθ），利用點到直線的距離公式，求它到直線l的距離的最大值．

解答 解：（Ⅰ）由曲線C的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數）得$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}$=1，
∴曲線C的直角坐標方程為$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}$=1．…（2分）
由ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$，化簡得，ρsinθ+ρcosθ=2，…（4分）
∴x+y=2．
∴直線l的直角坐標方程為x+y=2．…（5分）
（Ⅱ）由于點Q是曲線C上的點，則可設點Q的坐標為（$\sqrt{3}$cosθ，sinθ），…（6分）
點Q到直線l的距離為d=$\frac{|\sqrt{3}cosθ+sinθ-2|}{\sqrt{2}}$…（7分）
=$\frac{|2cos（θ-\frac{π}{6}）-2|}{\sqrt{2}}$．…（8分）
當cos（θ-$\frac{π}{6}$）=-1時，d_max=2$\sqrt{2}$．…（9分）
∴點Q到直線l的距離的最大值為2$\sqrt{2}$．…（10分）

點評 本題考查三種方程的互化，考查點到直線的距離公式的運用，考查參數方程，屬于中檔題．