Question

已知焦點（設為F₁，F₂）在x軸上的雙曲線上有一點P（x₀，

3

2

），直線y=

3

x線的一條漸近線，當

FP1

•

PF2

=0，雙曲線的一個頂點坐標是（　　）

• A、（

  2

  ，0）
• B、（

  3

  ，0）
• C、（2，0）
• D、（1，0）

Answer 1

分析：首先由直線y=

3

x是漸近線得出b²=3a²，再將p點坐標代入橢圓方程得出x₀²=

4a2-3

4

，然后根據

FP1

•

PF2

=0?PF₁⊥PF₂，進而得到|PF₁|²+|PF₂|²=|F₁F₂|²  并利用c²=a²+b²，求出a即可．

解答：解：∵雙曲線在x軸上，直線y=

3

x是漸近線
∴

b

a

=

3

 即b²=3a²
設雙曲線方程為

x2

a2

-

y2

3a2

=1  F₁（-C，0）F₂（C，0）
把P（x₀，

3

2

）代入方程整理得x₀²=

4a2+3

4

∵

FP1

•

PF2

=0∴PF₁⊥PF₂
∴|PF₁|²+|PF₂|²=|F₁F₂|² 即（x₀+c）²+

9

4

+（x⁰-c）²+

9

4

=4c²
整理得a²-c²=-6
∵c²=a²+b²=4a²
∴-3a²=-3
∴a=1
故選D．

點評：本題考查了雙曲線的簡單性質，根據

FP1

•

PF2

=0?PF₁⊥PF₂，?PF₁|²+|PF₂|²=|F₁F₂|²，是解題的關鍵，屬于中檔題．