Question

若數列{a_n}滿足前n項之和S_n=2a_n-4（n∈N^*），b_n+1=a_n+2b_n，且b₁=2．
（1）求證數列{

bn

2n

}為等差數列；  （2）求{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（1）當n=1時，a₁=S₁=2a₁-4可求a₁=4，當n≥2時，由a_n=S_n-S_n-1=2a_n-4-2a_n-1+4即a_n=2a_n-1，可得a_n，代入已知遞推公式可證
（2）T_n=1×2+2×2²+…+n•2ⁿ，考慮利用錯位相減可求T_n

解答：解：（1）當n=1時，a₁=S₁=2a₁-4
∴a₁=4
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-4-2a_n-1+4
即a_n=2a_n-1
∴

an

an-1

=2
∴a_n=2ⁿ⁺¹
b_n+1=2ⁿ⁺¹+2b_n
∴

bn+1

2n+1

-

bn

2n

=1
又

b1

21

=1
∴

bn

2n

=1+(n-1)•1=n
∴b_n=n•2ⁿ（n∈N^*）
（2）T_n=1×2+2×2²+…+n•2ⁿ
2T_n=1×2²+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹
兩式相減得  T_n=-2-2²-…-2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹
=-

2(1-2n)

1-2

+n•2n+1=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2（n∈N^*）．

點評：本題主要考查了利用數列的遞推公式求解數列的通項公式，解題的關鍵是構造等差及等比數列進行求解，要注意對錯位相減求解數列和的方法的掌握，這是數列求和中的重點和難點．