Question

（2011•山東）如圖，在四棱臺ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，D₁D⊥平面ABCD，底面ABCD是平行四邊形，AB=2AD，AD=A₁B₁，∠BAD=60°．
（1）證明：AA₁⊥BD；
（2）證明：CC₁∥平面A₁BD．

Answer 1

（1）見解析    （2）見解析

（1）∵D₁D⊥平面ABCD，
∴D₁D⊥BD．
又AB=2AD，AD=A₁B₁，∠BAD=60°，
△ABD 中，由余弦定理得
BD²=AD²+AB²﹣2AB•ADcos60°=3AD²，
∴AD²+BD²=AB²，
∴AD⊥BD，又 AD∩DD₁=D，∴BD⊥面ADD₁A₁．
由 AA₁?面ADD₁A₁，
∴BD⊥AA₁．                             
（2）證明：連接AC 和A₁C₁，設 AC∩BD=E，由于底面ABCD是平行四邊形，故E為平行四邊形ABCD的
中心，由棱臺的定義及AB=2AD=2A₁B₁，可得 EC∥A₁C₁，且 EC=A₁C₁，
故ECC₁ A₁為平行四邊形，∴CC₁∥A₁ E，而A₁ E?平面A₁BD，∴CC₁∥平面A₁BD．