Question

函數f（x）=|x|（|x-1|-|x+1|）是（ ）
A．是奇函數又是減函數
B．是奇函數但不是減函數
C．是減函數但不是奇函數
D．不是奇函數也不是減函數

Answer 1

【答案】分析：首先由奇函數的定義域關于原點對稱，且滿足f（-x）=-f（x），可判函數f（x）=|x|（|x-1|-|x+1|）是奇函數；
然后利用分類討論的方法去絕對值符號，由于奇函數的圖象關于原點對稱，且對稱兩側的單調性相同，所以只需討論0≤x≤1與x＞1時即可；最后根據化簡后的分段函數畫出其圖象，則f（x）的單調性一目了然．
解答：解：因為函數f（x）=的定義域關于原點對稱，
且f（-x）=|-x|（|-x-1|-|-x+1|）=|x|（|x+1|-|x-1|）=-f（x），
所以f（x）是奇函數．
又因為當0≤x≤1時，f（x）=x（-x+1-x-1）=-2x²；
當x＞1時，f（x）=x（x-1-x-1）=-2x，
所以f（x）的圖象如圖：
所以f（x）既是奇函數，又是減函數．
故選A．
點評：本題考查函數的奇偶性定義及它的圖象性質，同時考查數形結合的方法研究函數的單調性．