Question

設數列{b_n}的n項和為S_n，且b_n=1-2S_n；數列{a_n}為等差數列，且a₅=14，a₇=20，．
（1）求數列{b_n}的通項公式；
（2）若c_n=a_n•b_n，n=1，2，3，…，T_n為數列{c_n}的前n項和．求證：T_n＜．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題設條件知b₁=．b_n=1-2S_n，b_n-b_n-1=-2（S_n-S_n-1）=-2b_n． =，由此可求出數列{b_n}的通項公式．
（2）數列{a_n}為等差數列，公差d=（a₇-a₅）=3，可得a_n=3n-1．從而c_n=a_n•b_n=（3n-1）•，是一個等差數列與一個等比數列的乘積，所以利用錯位相減的方法求出和．由此能證明數列{c_n}的前n項和T_n＜．
解答：解：（1）由b_n=1-2S_n，令n=1，則b₁=1-2S₁，又S₁=b₁
所以b₁=…（2分）
當n≥2時，由b_n=2-2S_n，可得b_n-b_n-1=-2（S_n-S_n-1）=-2b_n
即 =…（4分）
所以{b_n}是以b₁=為首項，為公比的等比數列，
于是b_n=…（6分）
（2）數列{a_n}為等差數列，公差d=（a₇-a₅）=3，可得a_n=3n-1…（7分）
從而c_n=a_n•b_n=（3n-1）•，
∴T_n=2•+5•+8•+…+（3n-1）•，
Tn=2•+5•+…+（3n-4）•+（3n-1）•
∴T_n=2•+3•+3•+…+3•--（3n-1）•=…（11分）
∴Tn=-＜．…（12分）
點評：本題考查數列的通項公式，考查錯位相減法求數列的和，解題時要認真審題，仔細解答，注意公式的靈活運用．