Question

 (2009北京西城高三抽樣測試,理18）已知數列{a_n}的前n項和為S_n，a₁＝1,數列{a_n+S_n}是公差為2的等差數列.

(1)求a₂,a₃;

(2)證明數列{a_n-2}為等比數列;

(3)求數列{na_n}的前n項和T_n.

Answer 1

(1)解:∵數列{a_n+S_n}是公差為2的等差數列,

∴(a_n+1+S_n+1)-(a_n+S_n)＝2,

即.

∵a₁＝1,∴.

(2)證明:由題意,得a₁-2＝-1,

∵,

∴{a_n-2}是首項為-1,公比為的等比數列.

(3)解:由(2)得a_n-2＝-()^n-1,

∴na_n＝2n-n·()^n-1.

∴T_n＝(2-1)+(4-2·)+［6-3·()²］+…+［2n-n·()^n-1］.

∴T_n＝(2+4+6+…+2n)-［1+2·+3·()²+…+n·()^n-1］.

設,①

∴.②

由①-②,得,

∴.

∴A_n＝4-(n+2)·()^n-1.

∴.