Question

已知圓O的方程為x²＋y²＝1，直線l₁過點A(3,0)，且與圓O相切．

(1)求直線l₁的方程；

(2)設圓O與x軸交于P，Q兩點，M是圓O上異于P，Q的任意一點，過點A且與x軸垂直的直線為l₂，直線PM交直線l₂于點P′，直線QM交直線l₂于點Q′.求證：以P′Q′為直徑的圓C總過定點，并求出定點坐標．

Answer 1

[解析]　(1)∵直線l₁過點A(3,0)，∴設直線l₁的方程為y＝k(x－3)，即kx－y－3k＝0，

則圓心O(0,0)到直線l₁的距離為d＝＝1，

解得k＝±.

∴直線l₁的方程為y＝±(x－3)．

(2)在圓O的方程x²＋y²＝1中，令y＝0得，x＝±1，即P(－1,0)，Q(1,0)．又直線l₂過點A與x軸垂直，∴直線l₂的方程為x＝3，設M(s，t)，則直線PM的方程為y＝(x＋1)．

解方程組得，P′.

同理可得Q′.

∴以P′Q′為直徑的圓C的方程為(x－3)(x－3)＋＝0，

又s²＋t²＝1，∴整理得(x²＋y²－6x＋1)＋y＝0，

若圓C經過定點，則y＝0，從而有x²－6x＋1＝0，

解得x＝3±2，

∴圓C總經過的定點坐標為(3±2，0)．,