Question

已知函數f（x）=x²+ax+b，（a，b∈R）的值域為[0，+∞），若關于x的不等式f（x）＜c的解集為（1，7），求實數c的值．

Answer 1

分析：由題意函數f（x）=x²+ax+b，（a，b∈R）的值域為[0，+∞），可得△=0，再根據不等式f（x）＜c的解集為（1，7），說明f（x）-c=0的兩個根為1和7，代入得兩個式子，可以解出c值；

解答：解：∵函數f（x）=x²+ax+b，（a，b∈R）的值域為[0，+∞），
∴△=a²-4b=0…①，
∵關于x的不等式f（x）＜c的解集為（1，7），
∴方程x²+ax+b-c=0的兩個根為1和7，
∴

1+a+b-c=0② 49+7a+b-c=0③

由①②③可以解得：a=-8，b=16，c=9；

點評：此題主要考查幾個界點問題，剩下的就是多元方程的求解問題，方程根與系數的關系一直是高考的熱點問題，此題難度不大，是一道基礎題；