Question

如圖，ABCD是矩形，過點D作PD⊥平面ABCD，連接PA、PB、PC，E是PC上的一點，且DE⊥PC，過E作EF⊥PB于F．
①求證DE⊥BC；
②求證：平面PBD⊥平面EFD．

Answer 1

分析：①由PD⊥平面ABCD，知平面PDC⊥平面ABCD，由此能夠證明DE⊥BC．
②由DE⊥PC，DE⊥BC，知DE⊥PB，由EF⊥PB，知PB⊥平面EFD，由此能夠證明平面PBD⊥平面EFD．

解答：證明：①∵PD⊥平面ABCD，
∴平面PDC⊥平面ABCD，
又∵DE?平面PDC，
∴DE⊥BC．
②∵DE⊥PC，DE⊥BC，PC∩BC=C，
∴DE⊥平面PBC，
∴DE⊥PB，
又∵EF⊥PB，DE∩EF=E，
∴PB⊥平面EFD，
又∵PB?平面PBD，
∴平面PBD⊥平面EFD．

點評：本題考查異面直線垂直的證明，考查平面與平面垂直的證明，解題時要認真審題，注意合理地化空間問題為平面問題．